Matematica discreta Esempi

$3 = \log_{b} (\frac{27}{64})$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$ .

$\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$b^{3} = \frac{27}{64}$

Passaggio 3

Risolvi per $b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sottrai $\frac{27}{64}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$b^{3} - \frac{27}{64} = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi $\frac{27}{64}$ come ${(\frac{3}{4})}^{3}$ .

$b^{3} - {(\frac{3}{4})}^{3} = 0$

Passaggio 3.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = b$ e $b = \frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + b (\frac{3}{4}) + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

$b$ e $\frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{b \cdot 3}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $b$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 \cdot b}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.3.3

Moltiplica $3$ per $b$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.3.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{3^{2}}{4^{2}}) = 0$

Passaggio 3.2.3.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{4^{2}}) = 0$

Passaggio 3.2.3.6

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$b - \frac{3}{4} = 0$

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $b - \frac{3}{4}$ uguale a $0$ e risolvi per $b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $b - \frac{3}{4}$ uguale a $0$ .

$b - \frac{3}{4} = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $\frac{3}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$b = \frac{3}{4}$

Passaggio 3.5

Imposta $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}$ uguale a $0$ e risolvi per $b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}$ uguale a $0$ .

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$ per $b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Moltiplica per il minimo comune denominatore $16$ , quindi semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$16 b^{2} + 16 (\frac{3 b}{4}) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Passaggio 3.5.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.2.1.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$16 b^{2} + 4 (4) (\frac{3 b}{4}) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Passaggio 3.5.2.1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$16 b^{2} + 4 \cdot (4 (\frac{3 b}{4})) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Passaggio 3.5.2.1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$16 b^{2} + 4 (3 b) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Passaggio 3.5.2.1.2.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$16 b^{2} + 12 b + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Passaggio 3.5.2.1.2.3

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$16 b^{2} + 12 b + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Passaggio 3.5.2.1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$16 b^{2} + 12 b + 9 = 0$

Passaggio 3.5.2.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5.2.3

Sostituisci i valori $a = 16$ , $b = 12$ e $c = 9$ nella formula quadratica e risolvi per $b$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 9)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 3.5.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.4.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 3.5.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 3.5.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 64$ per $9$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 3.5.2.4.1.3

Sottrai $576$ da $144$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 3.5.2.4.1.4

Riscrivi $- 432$ come $- 1 (432)$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 3.5.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (432)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 3.5.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 3.5.2.4.1.7

Riscrivi $432$ come $12^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.4.1.7.1

Scomponi $144$ da $432$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 3.5.2.4.1.7.2

Riscrivi $144$ come $12^{2}$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 3.5.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Passaggio 3.5.2.4.1.9

Sposta $12$ alla sinistra di $i$ .

$b = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 3.5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$b = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Passaggio 3.5.2.4.3

Semplifica $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$b = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 3.5.2.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$b = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}) = 0$ vera.

$b = \frac{3}{4}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$